Question

已知函数f（x）=x²-4lnx，g（x）=-x²+3x
（I）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若方程f（x）+2g（x）-m=0有唯一解，试求实数m的取值范围；
（Ⅲ）是否存在实数a使函数f（x）与g（x）在区间（a，a+1）上均为增函数，若存在求a的取值范围；若不存在说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出f（x）的导数，求出切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线方程；
（Ⅱ）原方程等价为-x²-4lnx+6x=m，令h（x）=-x²-4lnx+6x，由于x＞0，原方程有唯一解，则有y=h（x）和y=m的图象在y轴右侧有唯一的交点．求出h（x）的导数，求得单调区间和极值，令m小于极小值或m大于极大值即可；
（Ⅲ）分别求出f（x）、g（x）的单调区间，求得增区间，再由题意可得它与区间（a，a+1）的包含关系，得到不等式，解得即可判断．

解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）=x²-4lnx的导数为f′（x）=2x-

4

x

，
函数f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为f′（1）=2-4=-2，
切点为（1，1），则切线方程为：y-1=-2（x-1），即为y=3-2x；
（Ⅱ）原方程等价为-x²-4lnx+6x=m，令h（x）=-x²-4lnx+6x，则有h（x）=m，
由于x＞0，原方程有唯一解，则有y=h（x）和y=m的图象在y轴右侧有唯一的交点．
h′（x）=-2x-

4

x

+6=

-2(x-1)(x-2)

x

，当1＜x＜2时，h′（x）＞0，h（x）递增；
当x＞2或0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）递减．
则h（1）为极小值，且为5；h（2）为极大值，且为8-4ln2．
当x＞0时原方程有唯一解的充要条件为m＜5或m＞8-4ln2；
（Ⅲ）f′（x）=

2(x+ 2 )(x- 2 )

x

，又x＞0，当x＞

2

时，f′（x）＞0，f（x）递增，
当0＜x＜

2

时，f′（x）＜0，f（x）递减．
g（x）=

9

4

-（x-

3

2

）²，g（x）在x＞

3

2

上递减，在x＜

3

2

递增．
则f（x）和g（x）在（

2

，

3

2

）上递增．
欲使f（x），g（x）在区间（a，a+1）上均为增函数，则需a≥

2

且a+1≤

3

2

，
解得，a∈∅．
故不存在实数a使得f（x），g（x）在区间（a，a+1）上均为增函数．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间、极值和最值，考查函数的单调性的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．