Question

设函数f（x）=x²+bln（x+1），其中b≠0．
（1）当b=1时，求曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）当n∈N^*，且n≥2时证明不等式：ln[（

1

2

+1）（

1

3

+1）…（

1

n

+1）]+

1

23

+

1

33

+…+

1

n3

＞

1

2

-

1

n+1

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,证明题,分类讨论,导数的概念及应用,导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：（1）求出导数，求出切线的斜率和切点，由点斜式的方程即可得到；
（2）求出导数，讨论当b≥

1

2

时，当b＜0时，0＜b＜

1

2

时，令导数大于0得增区间，令导数小于0，得减区间，注意定义域；
（3）b=-1时，f（x）=x²-ln（x+1），令h（x）=x³-f（x）=x³-x²+ln（x+1），求出导数，运用单调性得到当x＞0时，x³-x²+ln（x+1）＞0，即ln（x+1）+x³＞x²，对任意的n为正整数，取x=

1

n

，有ln（1+

1

n

）+

1

n3

＞

1

n2

．再由对数的性质和裂项相消求和即可得证．

解答： （1）解：f（x）=x²+ln（1+x），则f′（x）=2x+

1

1+x

，
曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线斜率为f′（0）=1，
切点为（0，0），则切线方程为y=x；
（2）f′（x）=2x+

b

x+1

=

2(x+ 1 2 )2+b- 1 2

x+1

（x＞-1），
当b≥

1

2

时，f′（x）≥0，f（x）在x＞-1上递增；
当b＜

1

2

，f′（x）=0，解得，x₁=

-1- 1-2b

2

，x₂=

-1+ 1-2b

2

，
①当b＜0时，x₁＜-1，x₂＞-1，f′（x）＞0，得x＞x₂，f′（x）＜0，得-1＜x＜x₂，
②当0＜b＜

1

2

时，x₁＞-1，x₂＞-1，f′（x）＞0，得x＞x₂，-1＜x＜x₁，f′（x）＜0，得x₁＜x＜x₂；
综上可得，当b≥

1

2

时，f（x）的增区间为（-1，+∞）；
当b＜0时，f（x）的增区间为（

-1+ 1-2b

2

，+∞），减区间为（-1，

-1+ 1-2b

2

）；
当0＜b＜

1

2

时，f（x）的增区间为（

-1+ 1-2b

2

，+∞），（-1，

-1- 1-2b

2

）
减区间为（

-1- 1-2b

2

，

-1+ 1-2b

2

）；
（3）b=-1时，f（x）=x²-ln（x+1），
令h（x）=x³-f（x）=x³-x²+ln（x+1），h′（x）=

3x3+(x-1)2

x+1

在x≥0恒正，
h（x）在[0，+∞）递增，x＞0时，h（x）＞h（0）=0，即当x＞0时，x³-x²+ln（x+1）＞0，
即ln（x+1）+x³＞x²，对任意的n为正整数，取x=

1

n

，有ln（1+

1

n

）+

1

n3

＞

1

n2

．
则ln[（

1

2

+1）（

1

3

+1）…（

1

n

+1）]+

1

23

+

1

33

+…+

1

n3

=ln（1+

1

2

）+ln（1+

1

3

）+…+ln（1+

1

n

）+

1

23

+

1

33

+…+

1

n3

=ln（1+

1

2

）+

1

23

+ln（1+

1

3

）+

1

33

+…+ln（1+

1

n

）+

1

n3

＞

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＞

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

=

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=

1

2

-

1

n+1

．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间，考查分类讨论的思想方法，考查函数的单调性的运用：证明不等式，考查放缩法和裂项相消求和的方法，考查运算能力，属于中档题．