Question

下列说法正确的有

 

（1）函数y=f（1+x）与y=f（1-x）图象关于x=0对称；
（2）把函数y=f（-3x）按向量

a

=（

1

3

，0）平移后得到新函数y=f（1-3x）；
（3）若函数y=f（3x+1）图象关于x=1对称，则y=f（1+x）图象关于x=

1

3

对称；
（4）若对任意x∈R有f（1+x）=f（x-1）成立，则f（x）的图象关于x=1对称．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,函数的周期性

专题：函数的性质及应用

分析：根据函数图象的对称变换，平移变换，伸缩变换法则，结合函数周期性，逐一分析四个结论的真假，可得答案．

解答： 解：函数y=f（1+x）的图象关于x=0对称变换后，得到的y=f（1-x）的图象，故（1）正确；
把函数y=f（-3x）按向量

a

=（

1

3

，0）平移后得到新函数y=f[-3（x-

1

3

）]=f（1-3x）的图象，故（2）正确；
函数y=f（3x+1）图象上所有保持纵坐标不变，将横坐标扩大到原来的3倍，可得y=f（1+x）图象，
若函数y=f（3x+1）图象关于x=1对称，则y=f（1+x）图象关于x=3对称，故（3）错误；
若对任意x∈R有f（1+x）=f（x-1）成立，则f（x）的周期为2，故（4）错误；
故正确的有：（1），（2），
故答案为：（1），（2）

点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了函数图象的对称变换，平移变换，伸缩变换法则，函数周期性，是函数图象和性质综上深层次的考查和应用，难度中档．