Question

已知二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x，且f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）在区间[-1，

1

2

]上，函数y=f（x）的图象恒在直线y=2x+m的上方，试确定实数m的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）设出f（x）=ax²+bx+c，由f（0）=1，得c的值；由f（x+1）-f（x）=2x，求得a、b的值；
（2）求出f（x）在区间[-1，

1

2

]上的最小值，得函数最低点；从而求出m的取值范围．

解答： 解：（1）设二次函数f（x）=ax²+bx+c，
∵f（0）=1，∴c=1；
又f（x+1）-f（x）=2x，
∴a（x+1）²+b（x+1）+1-ax²-bx-1=2x，
即

2a=2 a+b=0

，
解得a=1，b=-1，
∴f（x）=x²-x+1；
（2）∵f（x）=x²-x+1=(x-

1

2

)2+

3

4

，
在区间[-1，

1

2

]上，f（x）有最小值f（

1

2

）=

3

4

，
即函数有最低点（

1

2

，

3

4

）；
把x=

1

2

，y=

3

4

代入y=2x+m中，
解得m=-

1

4

，如图；
∴当m＜

1

4

时，y=f（x）的图象恒在直线y=2x+m的上方．

点评：本题考查了求函数的解析式以及根据函数的单调性求值域的问题，是易错题．