Question

已知数列{a_n}满足a₁=3，a_n+1+a_n=2n+5；
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）求{a_n}的通项公式；
（3）令T_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+a_2n-1a_2n-a_2na_2n+1，求T_n的表达式．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件，依次取n=1，n=2，n=3，利用递推思想能求出a₂，a₃，a₄的值．
（2）由a_n+1+a_n=2n+5，得到a_n+2+a_n+1=2（n+1）+5，两式相减，得到a_n+2-a_n=2，由此能求出{a_n}的通项公式．
（3）把T_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+a_2n-1a_2n-a_2na_2n+1等价转化为T_n=a₂（a₁-a₃）+a₄（a₃-a₅）+…+a_2n（a_2n-1-a_2n+1），再由{a_n}的通项公式能求出T_n的表达式．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}满足a₁=3，a_n+1+a_n=2n+5，
∴a₂=2×1+5-3=4，
a₃=2×2+5-4=5，
a₄=2×3+5-5=6．…（2分）
（2）依条件a_n+1+a_n=2n+5…①
a_n+2+a_n+1=2（n+1）+5…②
②-①得 a_n+2-a_n=2，
所以数列{a_n}奇数项，偶数项都成等差数列，并且公差均为2，
∴a_2k=4+2（k-1）=2k+2（k∈N^*），
a_2k-1=3+2（k-1）=2k+1=（2k-1）+2（k∈N^*）
综合知：a_n=n+2…（7分）
（3）T_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+a_2n-1a_2n-a_2na_2n+1
=a₂（a₁-a₃）+a₄（a₃-a₅）+…+a_2n（a_2n-1-a_2n+1）
=-2（a₂+a₄+…+a_2n）
=-2×

a2+a2n

2

n
=-2n²-6n．…（12分）

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，解题时要注意递推思想、等价转化思想的合理运用，是中档题．