Question

已知圆C过点Q（1，1），且与圆M：（x+2）²+（y+2）²=r²（r＞0）关于直线2x+y+2=0对称．
（1）求圆C的方程；
（2）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆C的两条切线，A，B为切点，求四边形PABC面积的最小值．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：直线与圆

分析：（1）根据圆C与圆M关于直线2x+y+2=0对称，确定圆C的圆心C的坐标，又因为圆C过点（1，1），即可得到圆C的方程．
（2）四边形PABC的面积即为三角形PAC面积的2倍．故当切线长|PA|最小时，面积取最小值．利用点到直线的距离公式求出|PC|的最小值，进而求出|PA|的最小值以及四边形面积的最小值..

解答： 解：（1）∵圆C与圆M关于直线2x+y+2=0对称
∴圆心C与圆心M关于直线2x+y+2=0对称
∵圆M的圆心M（-2，-2）
设C（x，y），则

y+2 x+2 •(-2)=1 2• x-2 2 + y-2 2 +2=0

解得，x=

6

5

，y=-

2

5

∴圆C的圆心C（

6

5

，-

2

5

）．
设圆C的方程为
(x-

6

5

)2+(y+

2

5

)2=r2
圆C过点Q（1，1），
∴(1-

6

5

)2+(1+

2

5

)2=r2
∴r=

2

∴(x-

6

5

)2+(y+

2

5

)2=2．
（2）由题知，
S_{四边形PABC}=S_△PAC+S_△PBC
∵△PAC≌△PBC
∴S四边形PABC=|PA|•|AC|=

2

|PA|
∴当切线|PA|最短时，四边形面积最小
∵|PA|=

|PC|2-r2

=

|PC|2-2

|PC|的最小值为圆心C到直线的距离
d=

| 18 5 - 8 5 +8|

32+42

=2
∴|PA|min=

d2-2

=

4-2

=

2

∴四边形PABC的最小面积
S=

2

•

2

=2
故：四边形PABC面积的最小值为2．

点评：本题考查点关于直线对称，直线与圆相切的性质，点到直线的距离公式等知识的综合应用，属于中档题．