Question

三位同学在研究函数f（x）=

x

1+|x|

（x∈R）时，分别给出下面三个结论：
①函数f（x）的值域为（-1，1）；②若x₁≠x₂，则一定有f（x₁）≠f（x₂）；③若规定f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f[f_n（x）]，则f_n（x）=

x

1+n|x|

对任意n∈N^*恒成立．
你认为上述三个结论中正确的个数有（　　）

• A、0个
• B、1个
• C、2个
• D、3个

Answer 1

考点：函数的值域,函数恒成立问题

专题：压轴题,函数的性质及应用

分析：先求出f（x）为奇函数，再求出x＞0时的函数值，然后利用奇函数的性质求出f（x）的值域；由函数的单调性能判断结论②的正误；用数学归纳法能判断③的正误．

解答： 解：∵f（x）=

x

1+|x|

（x∈R），
∴f（-x）=

-x

1+|-x|

=-

x

1+x

，
∴f（x）是奇函数，
x＞0时，f(x)=

x

1+x

=

1+x-1

1+x

=1-

1

1+x

∈(0，1)且f（x）单调递增，
∴由奇函数的对称性可知函数的值域为（-1，1），
∵函数严格单调，
∴当x₁≠x₂，有f（x₁）≠f（x₂）；
f2(x)=f(f1(x))=

x 1+|x|

1+ x 1+|x|

=

x

1+2|x|

，
f3(x)═

x

1+3|x|

，
假设fn(x)=

x

1+n|x|

，
用由数学归纳法证明：
①n=3时，f3(x)═

x

1+3|x|

，成立．
②假设n=k时成立，即fk(x)=

x

1+k|x|

，
则当n=k+1时，f_k+1（x）=f（f_k（x））=

x 1+k|x|

1+| x 1+k|x| |

=

x

1+(k+1)|x|

，也成立，
∴fn(x)=

x

1+n|x|

．
所以三个结论都成立，
故选：D．

点评：本题考查函数的性质的应用，是中档题，解题时要认真审题，注意函数的奇偶性、单调性的灵活运用，注意数学归纳法的合理运用．