Question

已知P（x，y）为圆C：x²+y²-4x-14y+45=0上的动点，
（1）求x²+y²+4x-6y+13的最大值和最小值；
（2）求k=

y-3

x+2

的取值范围．

Answer 1

考点：圆方程的综合应用

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）设Q（-2，3），则x²+y²-4x+6y+13=（x+2）²+（y-3）²=|PQ|²，可得|PQ|的最值，即可求x²+y²+4x-6y+13的最大值和最小值；
（2）依题意，k为（-2，3）与圆C上任意一点连线的斜率，它的最大值和最小值分别是过（-2，3）的圆C的切线的斜率，从而可得结论．

解答： 解：（1）设Q（-2，3），则x²+y²-4x+6y+13=（x+2）²+（y-3）²，
即x²+y²+4x-6y+13表示圆C上的点与Q的距离的平方|PQ|²，
因为|PQ|_max=|CQ|+R=6

2

，|PQ|_min=|CQ|-R=2

2

，
所以原式的最大值为72，原式的最小值为8
（2）依题意，k为（-2，3）与圆C上任意一点连线的斜率，它的最大值和最小值分别是过（-2，3）的圆C的切线的斜率，
所以k_max=tan（45°+30°）=2+

3

，k_min=tan（45°-30°）=2-

3

（注意k_QC=1），
所以k∈[2-

3

，2+

3

]．

点评：本题考查取值范围的确定，考查三角函数知识，考查圆的性质，属于中档题．