Question

15．已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过点F的直线交抛物线于A，B两点，过点A作准线l的垂线，垂足为E，当A点的坐标为（3，y₁）时，△AEF为正三角形，则此时△OAB的面积为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 过F作AE的垂线，垂足为H，则H为AE的中点，利用A点坐标为 （3，y₀），可求p，可得抛物线的方程，求出直线AF的方程，与抛物线方程联立求出A，B的坐标，即可求出△OAB的面积．

解答 解：如图所示，过F作AE的垂线，垂足为H，则H为AE的中点，
因为A点坐标为 （3，y₁），
所以AE=3+$\frac{p}{2}$，EH=p，
所以2p=3+$\frac{p}{2}$，
所以p=2．
所以y²=4x，此时A（3，2$\sqrt{3}$），k_AF=$\sqrt{3}$，
所以直线AF的方程为y=$\sqrt{3}$（x-1），
代入抛物线方程可得3（x-1）²=4x，解得x=3或$\frac{1}{3}$，
所以y=2$\sqrt{3}$或-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
所以△AOB的面积为$\frac{1}{2}$×1×（2$\sqrt{3}$+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
故答案为：$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，正确运用抛物线的定义是解题的关键．