Question

已知正项等比数列{a_n}满足：lna₁+lna₂=4，lna₄+lna₅=10．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记S_n=lna₁+lna₂+…+lna_n，数列{b_n}满足b_n=

1

2Sn

，若存在n∈N，使不等式K＜（b₁+b₂+…+b_n）（

2

3

）ⁿ 成立，求实数K的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知得a1a2=e4，a4a5=e10，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知S_n=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

，b_n=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，由此利用裂项求和法能求出实数k的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵正项等比数列{a_n}满足：lna₁+lna₂=4，lna₄+lna₅=10，
∴a1a2=e4，a4a5=e10，
∴q⁶=e⁶，由q＞0，解得q=e，a₁=e，
∴a_n=eⁿ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知S_n=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

，
b_n=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴b₁+b₂+…+b_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

，
设c_n=（b₁+b₂+…+b_n）（

2

3

）ⁿ，
∴cn=

n

n+1

(

2

3

)ⁿ，
c_n+1-c_n=

n+1

n+2

（

2

3

）ⁿ⁺¹-

n

n+1

（

2

3

）ⁿ
=

-n2-2n+2

3(n+1)(n+2)

•(

2

3

)n＜0，
∴c_n＞c_n+1，
∴数列{c_n}单调递减，
（c_n）_max=c₂=

1

3

，
∴k＜

1

3

．

点评：本题考查数列通项公式的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．