Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c在x=-2处取得极值，并且它的图象与直线y=-3x+3在点（ 1，0 ） 处相切，
（1）求a，b，c的值；
（2）求f（x）的极值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：（1）求出f′（x），因为函数在x=-2处取得极值，所以f′（-2）=0，又因为函数与直线在点 （1，0 ）处相切，所以f′（1）=-3，代入求得两个关于a与b的二元一次方程，求出解集得到a和b，又因为函数过点（1，0），代入求出c的值即可．
（2）由（1）求出的值可得导函数的解析式，分别令其大于、小于0可求增、减区间，即可求出f（x）的极值．

解答： 解：（1）∵f′（x）=3x²+2ax+b，
∴f′（-2）=3×（-2）²+2a×（-2）+b=0
∴12-4a+b=0   ①
又f′（1）=3+2a+b=-3  ②，
由①②解得a=1，b=-8
又f（x）过点（1，0），
∴1³+a×1²+b×1+c=0，∴c=6
（2）由（1）知：f（x）=x³+x²-8x+6，所以f′（x）=3x²+2x-8
令3x²+2x-8＜0解得-2＜x＜

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3

，
令3x²+2x-8＞0解得x＜-2，或x＞

4

3

故f（x）的单调递增区间为（-∞，-2）和（

4

3

，+∞），
f（x）的单调递减区间为（-2，

4

3

）
∴在x=-2处取得极大值18，在x=

4

3

处取得极小值-

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点评：本题考查学生利用导数研究函数极值的能力，利用导数研究曲线上某点处的切线方程，函数在曲线上某点处的导数值，就是曲线在该点处的切线的斜率，是中档题．