Question

已知函数．f（x）=

a

2

-

2x

2x+1

．
（1）若f（x）是奇函数，求a值；
（2）利用单调性定义证明f（x）在R上是减函数．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）直接根据函数为奇函数，建立等式，求解a值；
（2）直接根据单调性定义，进行求解．

解答： 解：（1）若f（x）是奇函数，
则 f（x）+f（-x）=0，
即：a-1=0，
∴a=1；
（2）由（1）知f(x)=

1

2

-

2x

2x+1

设 x1， x₂∈R且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=

2x2-2x1

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵x₂＞x₁∴2x2-2x1＞0，
而2x1+1＞0，2x2+1＞0，
∴

2x2-2x1

(2x1+1)(2x2+1)

＞0，
即f（x₁）＞f（x₂）
故f（x）在R上是减函数．

点评：本题重点考查了函数的奇偶性和单调性及其性质运用，属于中档题．