Question

20．在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2cosα\\ y=2+2sinα\end{array}\right.$（α为参数），M为C₁上的动点，P点满足$\overrightarrow{OP}=2\overrightarrow{OM}$，设点P的轨迹为曲线C₂．
（1）求C₁，C₂的极坐标方程；
（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线$θ=\frac{π}{3}$与C₁的异于极点的交点为A，与C₂的异于极点的交点为B，求线段AB的长度．

Answer 1

分析 （1）求出C₁，C₂的普通方程，即可求C₁，C₂的极坐标方程；
（2）利用极径的意义，求线段AB的长度．

解答 解：（1）设点P（x，y），M（2cosα，2+2sinα），
则由$\overrightarrow{OP}=2\overrightarrow{OM}$得：x=4cosα，y=4+4sinα，消参得：x²+（y-4）²=16．
转化为极坐标方程得：ρ=8sinθ，所以C₂的极坐标方程ρ=8sinθ，
同理可得C₁的极坐标方程ρ=4sinθ．
（2）在极坐标系，可得$OA=ρ=4sin\frac{π}{3}=2\sqrt{3}$，$OB=ρ=8sin\frac{π}{3}=4\sqrt{3}$，
所以$|AB|=OB-OA=2\sqrt{3}$．

点评 本题考查三种方程的转化，考查极径的意义，属于中档题．