Question

5．下列命题中，错误的是（　　）

• A． ?x∈（0，$\frac{π}{2}$），x＞sinx
• B． 在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB
• C． 函数f（x）=tanx图象的一个对称中心是（$\frac{π}{2}$，0）
• D． ?x₀∈R，sinx₀cosx₀=$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 由y=sinx-x，求出导数，判断在（0，$\frac{π}{2}$）的单调性，即可判断A；
运用三角形的边角关系和正弦定理，即可判断B；
由函数f（x）=tanx图象的对称中心为（$\frac{kπ}{2}$，0），k∈Z，即可判断C；
运用二倍角公式和正弦函数的值域，即可判断D．

解答 解：对于A，?x∈（0，$\frac{π}{2}$），由y=sinx-x的导数y′=cosx-1＜0，可得y=sinx-x在（0，$\frac{π}{2}$）递减，可得sinx-x＜sin0-0=0，即x＞sinx成立；
对于B，在△ABC中，若A＞B，即a＞b，即有2RsinA＞2RsinB，则sinA＞sinB成立；
对于C，函数f（x）=tanx图象的对称中心为（$\frac{kπ}{2}$，0），k∈Z，当k=1时，即有（$\frac{π}{2}$，0），成立；
对于D，sinxcosx=$\frac{1}{2}$•2sinxcosx=$\frac{1}{2}$sin2x≤$\frac{1}{2}$，但$\frac{\sqrt{2}}{2}$＞$\frac{1}{2}$，则不存在x₀∈R，sinx₀cosx₀=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．故不成立．
故选：D．

点评 本题考查命题的真假判断，主要是全称命题和存在性命题的判断和正切函数的对称中心，以及正弦定理的运用，考查判断能力，属于中档题和易错题．