Question

18．某校兴趣小组在如图所示的矩形区域ABCD内举行机器人拦截挑战赛，在E处按$\overrightarrow{EP}$方向释放机器人甲，同时在A处按某方向释放机器人乙，设机器人乙在Q处成功拦截机器人甲．若点Q在矩形区域ABCD内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败．
已知AB=18米，E为AB中点，机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，比赛中两机器人均按匀速直线运动方式行进，记$\overrightarrow{EP}$与$\overrightarrow{EB}$的夹角为θ．
（1）若θ=60°，AD足够长，则如何设置机器人乙的释放角度才能挑战成功？（结果精确到0.1°）
（2）如何设计矩形区域ABCD的宽AD的长度，才能确保无论θ的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD内成功拦截机器人甲？

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理，即可求解；
（2）以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴，建平面直角坐标系，求出Q的轨迹方程，即可得出结论．

解答 解：（1）△AEQ中，AQ=2EQ，∠AEQ=120°…（2分）
由正弦定理，得：$\frac{EQ}{sin∠QAE}=\frac{AQ}{sin∠AEQ}$
所以$sin∠QAE=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$…（4分）
所以$∠QAE=arcsin\frac{{\sqrt{3}}}{4}≈25.7°$
所以应在矩形区域ABCD内，按照与$\overrightarrow{AB}$夹角为25.7°的向量$\overrightarrow{AQ}$方向释放机器人乙，才能挑战成功…（6分）
（2）以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴，建平面直角坐标系，
设Q（x，y）（y≥0）…（8分）
由题意，知AQ=2EQ，所以$\sqrt{{{（x+9）}^2}+{y^2}}=2\sqrt{{x^2}+{y^2}}$
所以（x-3）²+y²=36（y≥0）…（11分）
即点Q的轨迹是以（3，0）为圆心，6为半径的上半圆在矩形区域ABCD内的部分
所以当AD≥6米时，能确保无论θ的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD内成功拦截机器人甲…（14分）

点评 本题考查轨迹方程，考查正弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．