Question

8．△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知（2a+b）sinA+（2b+a）sinB=2csinC．
（Ⅰ）求C的大小；
（Ⅱ）若$c=\sqrt{3}$，求△ABC周长的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理得到a²+b²-c²=-ab，由此利用余弦定理能求出$C=\frac{2π}{3}$．
（Ⅱ）由正弦定理求出a=2sinA，b=2sinB．由此利用正弦加法定理求出周长l=$2sin（{A+\frac{π}{3}}）+\sqrt{3}$，由此能求出△ABC周长的最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，
（2a+b）sinA+（2b+a）sinB=2csinC．
∴由已知，得$（{2a+b}）•\frac{a}{2R}+（{2b+a}）•\frac{b}{2R}=2c•\frac{c}{2R}$，
即a²+b²-c²=-ab，
∴$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=-\frac{1}{2}$，
由0＜C＜π，
∴$C=\frac{2π}{3}$．
（Ⅱ）∵$c=\sqrt{3}$，∴$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{{\sqrt{3}}}{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}$，
∴a=2sinA，b=2sinB．
设周长为l，则$l=a+b+c=2sinA+2sinB+\sqrt{3}=2sinA+2sin（{\frac{π}{3}-A}）+\sqrt{3}$
=$2sinA+2sin\frac{π}{3}cosA+2cos\frac{π}{3}sinA+\sqrt{3}=sinA+\sqrt{3}cosA+\sqrt{3}$
=$2sin（{A+\frac{π}{3}}）+\sqrt{3}$
∵$0＜A＜\frac{π}{3}$，∴2$\sqrt{3}$＜2sin（A+$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$≤2+$\sqrt{3}$，
∴△ABC周长的最大值为$2+\sqrt{3}$．

点评 本题三角形周长的最大值的求法，考查余弦定理、正弦定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、方程与函数思想、数形结合思想，是中档题．