Question

9．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且b=$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$sinC=（sinA+$\sqrt{3}$cosA）sinB，则AC边上的高的最大值为$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得$\sqrt{3}$sinAcosB=sinAsinB，结合sinA≠0，可求tanB=$\sqrt{3}$，得解B=$\frac{π}{3}$，由余弦定理，基本不等式可得3≥ac，设AC边上的高为h，利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：∵$\sqrt{3}$sinC=$\sqrt{3}$sin（A+B）=（sinA+$\sqrt{3}$cosA）sinB，
∴$\sqrt{3}$sinAcosB+$\sqrt{3}$cosAsinB=sinAsinB+$\sqrt{3}$cosAsinB，
∴$\sqrt{3}$sinAcosB=sinAsinB，
∵A为三角形内角，sinA≠0，
∴$\sqrt{3}$cosB=sinB，可得：tanB=$\sqrt{3}$，
∴B=$\frac{π}{3}$，
∵b=$\sqrt{3}$，由余弦定理b²=a²+c²-2accosB，可得：3=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac，（当且仅当a=c时等号成立），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB≤$\frac{1}{2}×3×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，（当且仅当a=c时等号成立），
设AC边上的高为h，则$\frac{1}{2}$bh_max=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×$h_max=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．
∴解得：h_max=$\frac{3}{2}$．
故答案为：$\frac{3}{2}$．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．