Question

15．设α，β∈[0，π]，且满足sinαcosβ-cosαsinβ=1，则cos（2α-β）的取值范围为（　　）

• A． [0，1]
• B． [-1，0]
• C． [-1，1]
• D． $[{-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}]$

Answer 1

分析 由范围α，β∈[0，π]，可求α-β∈[-π，π]，利用两角差的正弦函数公式可得sin（α-β）=1，可求α-β=$\frac{π}{2}$，进而求得2α-β的范围，利用余弦函数的图象即可得解．

解答 解：∵α，β∈[0，π]，则α-β∈[-π，π]，
又∵sinαcosβ-sinβcosα=sin（α-β）=1，
∴α-β=$\frac{π}{2}$，
∴2α-β∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$]，
∴cos（2α-β）∈[-1，0]．
故选：B．

点评 本题主要考查了两角差的正弦函数公式，余弦函数的图象和性质的应用，考查了数形结合思想，属于基础题．