Question

12．已知m=a+blnb，n=b+blna，若a＞b＞0，则m，n的大小关系是（　　）

• A． m＞n
• B． m＜n
• C． m=n
• D． 大小不确定

Answer 1

分析 $\frac{m-n}{b}=\frac{a+blnb-b-blna}{b}$=$\frac{a}{b}-1+ln\frac{b}{a}$，令t=$\frac{a}{b}＞1$，则f（t）=t-1-lnt，${f}^{'}（t）=1-\frac{1}{t}=\frac{t-1}{t}$＞0，从而f（t）是增函数，由此能求出m＞n．

解答 解：∵m=a+blnb，n=b+blna，a＞b＞0，
∴$\frac{m-n}{b}=\frac{a+blnb-b-blna}{b}$
=$\frac{a}{b}-1+ln\frac{b}{a}$，
∵a＞b＞0，∴令t=$\frac{a}{b}＞1$，
∴f（t）=t-1+ln$\frac{1}{t}$=t-1-lnt，
${f}^{'}（t）=1-\frac{1}{t}=\frac{t-1}{t}$＞0，∴f（t）是增函数，
∵f（1）=1-1-ln1=0，∴f（t）＞0，
∴m＞n．
故选：A．

点评 本题考查两个数的大小的比较，是中档题，解题时要认真审题，注意作差法和对数性质的合理运用．