Question

已知关于x的不等式0≤x²-2x+m≤3（m∈R）有且只有一个实数解，函数f（x）=tx，g（x）=2tx²-2（m-t）x+1，若对于任一实数x，f（x）与g（x）至少有一个为正数，则实数t的取值范围是（　　）

• A、（-∞，0）
• B、（0，2）
• C、（2，8）
• D、（0，8）

Answer 1

考点：函数的零点与方程根的关系

专题：计算题,压轴题,函数的性质及应用

分析：由关于x的不等式0≤x²-2x+m≤3（m∈R）有且只有一个实数解求出m的值，代入函数化简；当t≤0时，显然不成立；当t＞0时，因为g（0）=1＞0，所以仅对对称轴进行讨论即可．

解答： 解：∵y=x²-2x+m≥m-1，
又∵关于x的不等式0≤x²-2x+m≤3（m∈R）有且只有一个实数解，
∴m-1=3，
∴m=4，
则g（x）=2tx²-2（4-t）x+1．
当t≤0时，
当x接近+∞时，函数g（x）=2tx²-2（4-t）x+1与f（x）=tx均为负值，
显然不成立，
当t=0时，因g（x）=-8x+1，f（x）=0，故不成立；
当t＞0时，
若-

b

2a

=

4-t

2t

≥0，即0＜t≤4时，结论显然成立；
若-

b

2a

=

4-t

2t

＜0时，只要△=4（4-t）²-8t=4（t-8）（t-2）＜0即可，即4＜t＜8，
故0＜t＜8．
故选D．

点评：本题主要考查对一元二次函数图象的理解．对于一元二次不等式，一定要注意其开口方向、对称轴和判别式．