题目内容
已知椭圆
+
=1﹙a＞b＞0﹚与x轴的正半轴交于点A，O是原点，若椭圆上存在一点M，使MA⊥MO，求椭圆的离心率的取值范围．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
考点：椭圆的简单性质
专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：利用向量的数量积公式，结合椭圆方程，可得M的横坐标，根据0＜
＜a，即可求椭圆的离心率的取值范围．
| ab2 |
| c2 |
解答：
解：设M（x，y），则
=（x，y），
=（x-a，y）．
∵
⊥
，
∴
•
=x（x-a）+y2=0
由椭圆方程得y2=b2-
x2代入得c2x2-a3x+a2b2=0．
解得x=a或
由题意0＜
＜a．
∴b2＜c2．∴a2-c2＜c2．
解得e2=
＞
∵0＜e＜1
∴
＜e＜1．
| OM |
| AM |
∵
| OM |
| AM |
∴
| OM |
| AM |
由椭圆方程得y2=b2-
| b2 |
| a2 |
解得x=a或
| ab2 |
| c2 |
由题意0＜
| ab2 |
| c2 |
∴b2＜c2．∴a2-c2＜c2．
解得e2=
| c2 |
| a2 |
| 1 |
| 2 |
∵0＜e＜1
∴
| ||
| 2 |
点评：本题考查椭圆的几何性质，考查向量知识的运用，确定M的横坐标是关键．
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