题目内容
选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线l过点P（2，0），斜率为
，直线l和抛物线y2=2x相交于A、B两点，设线段AB的中点为M，求：
（1）|PM|；
（2）|AB|．
已知直线l过点P（2，0），斜率为
| 4 |
| 3 |
（1）|PM|；
（2）|AB|．
考点：直线的参数方程
专题：坐标系和参数方程
分析：（1）由于直线l过点P（2，0），斜率为
．设直线的倾斜角为α，tanα=
，sinα=
，cosα=
，
得到直线l的参数方程为
（t为参数），将直线的参数方程代入抛物线方程y2=2x中，
得到关于t的一元二次方程，设这个一元二次方程的两个根为t1、t2，得到根与系数的关系，由M为线段AB的中点，根据t的几何意义，得到|PM|=
．
（2）利用弦长公式|AB|=|t2-t1|=
即可得出．
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
得到直线l的参数方程为
|
得到关于t的一元二次方程，设这个一元二次方程的两个根为t1、t2，得到根与系数的关系，由M为线段AB的中点，根据t的几何意义，得到|PM|=
| |t1+t2| |
| 2 |
（2）利用弦长公式|AB|=|t2-t1|=
| (t1+t2)2-4t1t2 |
解答：
解：（1）∵直线l过点P（2，0），斜率为
，
设直线的倾斜角为α，tanα=
，sinα=
，cosα=
，
∴直线l的参数方程为
（t为参数）（*）
∵直线l和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程y2=2x中，
整理得8t2-15t-50=0，且△=152+4×8×50＞0，
设这个一元二次方程的两个根为t1、t2，
由根与系数的关系，得t1+t2=
，t1t2=-
，
由M为线段AB的中点，根据t的几何意义，
得|PM|=|
|=
．
（2）|AB|=|t2-t1|
=
=
．
| 4 |
| 3 |
设直线的倾斜角为α，tanα=
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
∴直线l的参数方程为
|
∵直线l和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程y2=2x中，
整理得8t2-15t-50=0，且△=152+4×8×50＞0，
设这个一元二次方程的两个根为t1、t2，
由根与系数的关系，得t1+t2=
| 15 |
| 8 |
| 25 |
| 4 |
由M为线段AB的中点，根据t的几何意义，
得|PM|=|
| t1+t2 |
| 2 |
| 15 |
| 16 |
（2）|AB|=|t2-t1|
=
| (t1+t2)2-4t1t2 |
| 5 |
| 8 |
| 73 |
点评：本题考查了直线的参数方程的应用、参数的几何意义、中点坐标公式、弦长公式，考查了计算能力和推理能力，属于中档题．
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