Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cosA=

2

3

．
（1）求2sin2

B+C

2

+cos2(B+C)；
（2）若a=

3

，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

考点：正弦定理,三角函数中的恒等变换应用

专题：解三角形

分析：（1）根据三角函数的公式将2sin2

B+C

2

+cos2(B+C)化简，即可得到结论；
（2）根据正弦定理以及三角形的面积公式即可得到结论．

解答： 解：（1）∵cosA=

2

3

，且2sin2

B+C

2

+cos2(B+C)=2cos2

A

2

+cos2A=(1+cosA)+2cos2A-1=2×

4

9

+

2

3

=

14

9

．
（2）由a²=b²+c²-2bccos²A得：
3=b2+c2-2bc×

2

3

≥2bc-

4

3

bc=

2

3

bc，
∴bc≤

9

2

，
∵cosA=

2

3

．
∴sinA=

1-( 2 3 )2

=

1- 4 9

=

5

3

，
∴△ABC的面积S=

1

2

bcsinA≤

1

2

×

9

2

×

5

3

=

3 5

4

．
∴△ABC面积的最大值为

3 5

4

．

点评：本题主要考查三角公式的计算以及三角形面积的计算，利用正弦定理和余弦定理是解决本题的关键，考查学生的计算能力．