Question

△ABC的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，设向量

p

=（a+b，c），

q

=（a-c，a-b），若

p

∥

q

，
（1）求角B的大小；
（2）求sinA•sinC的最大值．

Answer 1

考点：余弦定理,平行向量与共线向量

专题：解三角形

分析：（1）由两向量的坐标，以及两向量平行的条件列出关系式，再利用余弦定理表示出cosB，把得出关系式代入求出cosB的值，即可确定出B的度数；
（2）由sinC=sin（A+B），把B代入并利用两角和与差的正弦函数公式化简，代入sinAsinC中，整理后利用正弦函数的值域即可确定出最大值．

解答： 解：（1）∵

p

=（a+b，c），

q

=（a-c，a-b），

p

∥

q

，
∴（a+b）（a-c）-c（a-b）=0，
整理得：a²-b²+c²-ac=0，即a²+c²-b²=ac，
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

1

2

，
∵B∈（0，π），
∴B=

π

3

；
（2）∵sinC=sin（A+B）=sin（A+

π

3

）=

1

2

sinA+

3

2

cosA，
∴sinAsinC=sinA（

1

2

sinA+

3

2

cosA）=

1

2

（sin²A+

3

sinAcosA）=

1

2

（

1-cos2A

2

+

3

2

sin2A）=

1

2

sin（2A-

π

6

）+

1

4

，
∵0＜2A＜

4π

3

，
∴-

π

6

＜2A-

π

6

＜

7π

6

，
则当A=

π

3

时，sinAsinC有最大值为

3

4

．

点评：此题考查了余弦定理，平面向量的数量积运算，以及正弦函数的值域，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．