Question

已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）为偶函数，且其图象上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为

4+π2

．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若tanα+

1

tanα

=5，求

2 f(2α- π 4 )-1

1-tanα

的值．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,运用诱导公式化简求值

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）设最高点为（x₁，1），最低点为（x₂，-1），结合图象上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为

4+π2

列式求出周期，代入周期公式求得ω，然后再由函数f（x）为偶函数求φ，在函数解析式可求；
（2）由tanα+

1

tanα

=5得sinαcosα=

1

5

，化简

2 f(2α- π 4 )-1

1-tanα

后代入得sinαcosα=

1

5

得答案．

解答： 解：（1）设最高点为（x₁，1），最低点为（x₂，-1），
则|x1-x2|=

T

2

(T＞0)，
∴

T2

4

+4=4+π2，T=2π，则ω=1．
∴f（x）=sin（x+φ），
∵f（x）=sin（ωx+φ为偶函数，
∴sinφ=±1，φ=kπ+

π

2

，k∈Z．
∵0≤φ≤π，
∴φ=

π

2

．
则f（x）=sin（x+

π

2

）=cosx；
（2）∵tanα+

1

tanα

=5，
∴sinαcosα=

1

5

．

2 f(2α- π 4 )-1

1-tanα

=

2 cos(2α- π 4 )-1

1-tanα

=2sinαcosα=

2

5

．

点评：本题考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象求函数解析式，考查了三角恒等变换在解题中的应用，是中档题．