Question

5．已知函数f（x）=x³+|ax-3|-2，a＞0．
（1）求函数y=f（x）的单调区间；
（2）当a∈（0，5）时，对于任意x₁∈[0，1]，总存在x₂∈[0，1]，使得f（x₁）+f（x₂）=0，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）讨论当x≥$\frac{3}{a}$时，去掉绝对值，求出导数；当x＜$\frac{3}{a}$时，去掉绝对值，求出导数，讨论当0＜a≤1时，当1＜a≤3时，当a＞3时，由导数大于0，可得增区间，导数小于0，可得减区间；
（2）由题意可得f（0）+f（1）=0，求得a的值，去掉绝对值，画出f（x）在[0，1]的图象，即可得到结论．

解答 解：（1）当x≥$\frac{3}{a}$时，f（x）=x³+ax-5，
由a＞0，f′（x）=3x²+a＞0，可得f（x）在[$\frac{3}{a}$，+∞）递增；
当x＜$\frac{3}{a}$时，f（x）=x³-ax+1，
由a＞0，f′（x）=3x²-a，
由f′（x）＞0，可得x＞$\sqrt{\frac{a}{3}}$或x＜-$\sqrt{\frac{a}{3}}$；
由f′（x）＜0，可得-$\sqrt{\frac{a}{3}}$＜x＜$\sqrt{\frac{a}{3}}$．
当0＜a≤1时，$\sqrt{\frac{a}{3}}$≤$\frac{3}{a}$，f（x）在（$\sqrt{\frac{a}{3}}$，$\frac{3}{a}$），（-∞，-$\sqrt{\frac{a}{3}}$）递增；
在（-$\sqrt{\frac{a}{3}}$，$\sqrt{\frac{a}{3}}$）递减；
当a＞1时，$\sqrt{\frac{a}{3}}$＞$\frac{3}{a}$，f（x）在（-∞，-$\sqrt{\frac{a}{3}}$）递增；
在（-$\sqrt{\frac{a}{3}}$，$\frac{3}{a}$）递减；
综上可得，当0＜a≤1时，f（x）的增区间为（-∞，-$\sqrt{\frac{a}{3}}$），（$\sqrt{\frac{a}{3}}$，+∞），
减区间为（-$\sqrt{\frac{a}{3}}$，$\sqrt{\frac{a}{3}}$）；
当1＜a≤3时，f（x）的增区间为（-∞，-$\sqrt{\frac{a}{3}}$），[$\sqrt{\frac{a}{3}}$，+∞），
减区间为（-$\sqrt{\frac{a}{3}}$，$\sqrt{\frac{a}{3}}$）；
当a＞3时，f（x）的增区间为（-∞，-$\sqrt{\frac{a}{3}}$），[$\frac{3}{a}$，+∞），
减区间为（-$\sqrt{\frac{a}{3}}$，$\frac{3}{a}$）；
（2）当a∈（0，5）时，对于任意x₁∈[0，1]，
总存在x₂∈[0，1]，使得f（x₁）+f（x₂）=0，
由f（0）=1，结合图象可得f（1）=1+|a-3|-2=-1，
解得a=3．
当a=3时，f（x）=x³+|3x-3|-2，
当x∈[0，1]时，f（x）=x³-3x+1，
f′（x）=3x²-3≤0，f（x）递减，则f（x）∈[-1，0]，且与x轴有一个交点，
故a=3成立．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间，注意运用分类讨论思想方法，考查任意性和存在性问题的解法，注意结合图象，考查运算能力，有一定难度．