Question

17．已知函数f（x）在定义域R上单调递减，且函数y=f（x-1）的图象关于点A（1，0）对称．若实数t满足f（t²-2t）+f（-3）＞0，则$\frac{t-1}{t-3}$的取值范围是 （　　）

• A． （$\frac{1}{2}$，+∞）
• B． （-∞，$\frac{1}{2}$）
• C． （0，$\frac{2}{3}$）
• D． （$\frac{1}{2}$，1）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 判断函数的奇偶性，利用函数的单调性求出t的范围，化简$\frac{t-1}{t-3}$，利用函数的单调性求解最值即可．

解答 解：因为y=f（x-1）的图象关于点A（1，0）对称，则y=f（x）的图象关于原点对称，
即f（x）为奇函数．
由f（t²-2t）+f（-3）＞0，得f（t²-2t）＞-f（-3）=f（3），
因为f（x）在R上是减函数，
则t²-2t＜3，即t²-2t-3＜0，得-1＜t＜3．
因为y=$\frac{t-1}{t-3}$=1+$\frac{2}{t-3}$；在区间（-1，3）上是减函数，则$\frac{t-1}{t-3}$$＜\frac{1}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查函数与方程的应用，抽象函数的应用，考查转化思想以及计算能力．