Question

15．已知f（x）=e^x-x，g（x）=lnx+x+1，命题p：?x∈R，f（x）＞0，命题q：?x₀∈（0，+∞），使得g（x₀）=0，则下列说法正确的是（　　）

• A． p是真命题，￢p：?x₀∈R，f（x₀）＜0
• B． p是假命题，￢p：?x₀∈R，f（x₀）≤0
• C． q是真命题，￢q：?x∈（0，+∞），g（x）≠0
• D． q是假命题，￢q：?x∈（0，+∞），g（x）≠0

Answer 1

分析 利用导数和函数零点存在条件分别判断命题p，q的真假，结合含有量词的命题的否定进行判断即可．

解答 解：f′（x）=e^x-1，由f′（x）＞0得x＞0，由f′（x）＜0得x＜0，
即当x=0时，函数f（x）取得极小值，同时也是最小值f（0）=e⁰-0=1-0=1＞0，
∴?x∈R，f（x）＞0成立，即p是真命题．
g（x）=lnx+x+1在（0，+∞）上为增函数，当x→0时，g（x）＜0，g（1）=0+1+1=2＞0，
则：?x₀∈（0，+∞），使得g（x₀）=0成立，即命题q是真命题．
则￢p：?x₀∈R，f（x₀）≤0，
￢q：?x∈（0，+∞），g（x）≠0，
综上只有C成立，
故选：C

点评 本题主要考查命题的真假判断以及含有量词的命题的否定，利用函数的性质进行判断是解决本题的关键．