Question

1．已知△ABC的面积为S，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且2S=$\sqrt{3}$AB•AC．
（Ⅰ）求角A的大小：
（Ⅱ）若b、c是方程x²-2$\sqrt{3}$x+2=0的两个根．求边a的长度及△ABC的外接圆的半径．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角形面积公式和平面向量数量积的运算及同角三角函数基本关系式可得tanA=$\sqrt{3}$，结合范围A∈（0，π），可得A的值．
（Ⅱ）由韦达定理可得b+c=2$\sqrt{3}$，bc=2，利用余弦定理解得a的值，由正弦定理即可得解△ABC的外接圆的半径．

解答 解：（Ⅰ）∵2S=$\sqrt{3}$AB•AC．
∴2×$\frac{1}{2}$bcsinA=$\sqrt{3}$bccosA，解得：tanA=$\sqrt{3}$，
∴A∈（0，π），可得：A=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）∵b，c是方程x²-2$\sqrt{3}$x+2=0的两根，
∴b+c=2$\sqrt{3}$，bc=2，
∴a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-3bc=12-6=6，解得：a=$\sqrt{6}$，
∴由正弦定理可得：2R=$\frac{a}{sinA}$=$\frac{\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$，解得：R=$\sqrt{2}$．
∴△ABC的外接圆的半径为$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了三角形面积公式，平面向量数量积的运算及同角三角函数基本关系式的应用，考查了正弦定理，余弦定理，韦达定理的综合应用，属于中档题．