Question

解不等式：
（1）log₂

2x2+2x+1

x+2

≤0；
（2）

|x-3|(x-2)

x2(x-1)

≥0．

Answer 1

考点：指、对数不等式的解法,其他不等式的解法

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）根据对数的真数大于零、对数函数的单调性，将不等式化为0＜

2x2+2x+1

x+2

≤1，列出不等式组，由分式不等式的解法注意求解；
（2）将原不等式化为：

x2(x-1)≠0 x2(x-1)(x-2)|x-3|≥0

，再由x²＞0、|x-3|≥0，求出不等式组的解集．

解答： 解：（1）不等式log₂

2x2+2x+1

x+2

≤0等价于0＜

2x2+2x+1

x+2

≤1，
即

2x2+2x+1 x+2 ＞0 2x2+2x+1 x+2 ≤1

，化简得

2x2+2x+1 x+2 ＞0① 2x2+x-1 x+2 ≤0②

，
对于①，因为2x²+2x+1=2（x+

1

2

）²+

1

2

＞0，所以x+2＞0
解得x＞-2，即①的解集是{x|x＞-2}，
对于②，等价于

2x2+x-1≤0 x+2＞0

或

2x2+x-1≥0 x+2＜0

，
解得-1≤x≤

1

2

或x＜-2，即②的解集是{x|-1≤x≤

1

2

或x＜-2}，
所以不等式组的解集是{x|-1≤x≤

1

2

}；
（2）不等式

|x-3|(x-2)

x2(x-1)

≥0等价于

x2(x-1)≠0 x2(x-1)(x-2)|x-3|≥0

，
由x²（x-1）≠0，得x≠0，x≠1，
又x²＞0，|x-3|≥0，所以（x-1）（x-2）≥0，解得x≥2或x＜1，
所以原不等式的解集是{x|x≥2或x＜1且x≠0}．

点评：本题主要考查分式不等式的解法，以及对数函数的性质，考查计算能力．