Question

已知在等差数列{a_n}中，a₁=2，a₄=11，在等比数列{b_n}中，b₁=

a3

2

，b₄=a₁₁，
（Ⅰ）求等比数列{b_n}的通项公式b_n；
（Ⅱ）求证数列{b_n+1}不可能是等比数列．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）设{a_n}的公差为d，{b_n}的公比为q，利用a₁=2，a₄=11，求解公差，利用b₁=

a3

2

，b₄=a₁₁，求解公比，然后求等比数列{b_n}的通项公式b_n；
（Ⅱ）求出数列{b_n}的前3项，然后求出{b_n+1}的前3项，判断数列不可能是等比数列即可．

解答： 解：（Ⅰ）设{a_n}的公差为d，{b_n}的公比为q，则
∵a₁=2，a₄=11，
∴d=

a4-a1

4-1

=3，
∴a_n=a₁+（n-1）d=3n-1，
∴b₁=

a3

2

=4，b₄=32
∴q³=8即q=2
∴b_n=b₁q^n-1=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹（6分）
（Ⅱ）若{b_n+1}是等比数列，则b₁+1，b₂+1，b₃+1是等比数列，
由（Ⅰ）可得b₁=4，b₂=8，b₃=16，
显然{b_n+1}的前3项依次为5，9，17，
由于5×17=85，9²=81
∴b₁+1，b₂+1，b₃+1不是等比数列，
∴数列{b_n+1}不可能是等比数列．（13分）

点评：本题考查等差数列与等比数列的综合应用，基本知识的考查．