Question

给出下列命题，其中正确的有（　　）个
①在区间（1，+∞）上，函数y=x^-1，y=x 

1

2

，y=（x-1）²，y=x³中有三个增函数；
②命题p：?x∈R，sinx＜1，则x￢p：?x₀∈R，使sinx₀＞1；
③若函数f（x）是偶函数，则f（x-1）的图象关于直线x=1对称；
④若角α，β满足-

π

2

＜α＜β＜

π

2

，则2α-β的取值范围是（-

3

2

π，

3

2

π）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：特称命题,全称命题

专题：函数的性质及应用,三角函数的求值,不等式的解法及应用

分析：本题①可通过函数的图象来判断函数的单调性，得到本小题结论是否正确；②通过命题的否定的概念，得到其否定命题，知道本小题结论是否正确；③本题可通过偶函数特征以及函数图象间关系，得到本小题结论是否正确；④可通过不等式的基本性质进行变形，得到本小题结论是否正确．从而判断出本题的选项．

解答： 解：选项①，∵-1＜0，∴函数y=x^-1在区间（1，+∞）上单调递减；∵

1

2

＞0，3＞0，∴函数y=x 

1

2

，y=x³区间（1，+∞）上单调递增；∵函数y=x 

1

2

在区间（1，+∞）上单调递增；∴在区间（1，+∞）上，函数y=x^-1，y=x 

1

2

，y=（x-1）²，y=x³中有三个增函数；故原命题正确；
选项②，命题p：?x∈R，sinx＜1，则￢p：?x₀∈R，使sinx₀≥1；而不是“使sinx₀＞1”，故原命题不正确；
选项③，∵函数f（x）是偶函数，∴函数f（x）的图象关于直线x=0对称，∵将函数f（x）的图象向右平移1个单位，得到f（x-1）的图象，∴f（x-1）的图象关于直线x=1对称；故原命题正确；
选项④，∵角α，β满足-

π

2

＜α＜β＜

π

2

，∴-π＜2α＜π，-

π

2

＜-β＜

π

2

，∴-

3

2

π＜2α-β＜

3

2

π．又∵α＜β，∴α-β＜0，∵α＜

π

2

，∴2α-β＜

π

2

，
∴-

3

2

π＜2α-β＜

π

2

．∴2α-β的取值范围是（-

3

2

π，

π

2

）．故原命题不正确；
∴正确的命题有：①，③．
故选B．

点评：本题考查了函数的单调性、命题的否定、函数的奇偶性、不等式的基本性质，本题各小题的难度不大，但有涉及知识面较广，属于中档题．