题目内容
已知函数f（x）=x+
（1）求函数f（x）定义域；
（2）判断并证明函数f（x）=x+
的奇偶性
（3）证明函数f（x）=x+
在x∈[2，+∞）上是增函数．
| 4 |
| x |
（1）求函数f（x）定义域；
（2）判断并证明函数f（x）=x+
| 4 |
| x |
（3）证明函数f（x）=x+
| 4 |
| x |
考点：函数单调性的判断与证明,函数的定义域及其求法,函数奇偶性的判断
专题：函数的性质及应用
分析：本题（1）直接根据分式有意义时分母不为0，求出x的取值范围，得到本小题结论；（2）利用函数奇偶性定义，可证明本小题结论；（3）利用函数单调性定义证明本小题结论．
解答：
解：（1）∵函数f（x）=x+
，
∴分母x≠0，
∴函数f（x）定义域为{x|x≠0，x∈R}．
（2）任取x∈R，
则有f（-x）=-x+
=-（x+
）=-f（x），
∴函数f（x）=x+
是奇函数．
（3）在[2，+∞）上任取x1，x2，且x1＜x2，
则f（x2）-f（x1）=（x2+
）-（x1+
）=（x2-x1）+（
-
）=（x2-x1）(1-
)=
．
∵2≤x1＜x2，
∴x2-x1＞0，x1x2-4＞0，
∴f（x2）-f（x1）＞0，
∴f（x2＞f（x1）．
∴函数f（x）=x+
在x∈[2，+∞）上是增函数．
| 4 |
| x |
∴分母x≠0，
∴函数f（x）定义域为{x|x≠0，x∈R}．
（2）任取x∈R，
则有f（-x）=-x+
| 4 |
| -x |
| 4 |
| x |
∴函数f（x）=x+
| 4 |
| x |
（3）在[2，+∞）上任取x1，x2，且x1＜x2，
则f（x2）-f（x1）=（x2+
| 4 |
| x2 |
| 4 |
| x1 |
| 4 |
| x2 |
| 4 |
| x1 |
| 4 |
| x1x2 |
| (x2-x1)(x1x2-4) |
| x1x2 |
∵2≤x1＜x2，
∴x2-x1＞0，x1x2-4＞0，
∴f（x2）-f（x1）＞0，
∴f（x2＞f（x1）．
∴函数f（x）=x+
| 4 |
| x |
点评：本题考查了函数的定义域、函数的奇偶性、函数的单调性，本题难度不大，属于基础题．
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