Question

已知p：关于x的方程x²-3ax+2a+1=0的两根均大于3，q：A={x|x²-2x+a＞0}且1∉A，
（1）求使p成立的充要条件；
（2）若p∨q为真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断,复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：（1）设x₁，x₂是方程x²-3ax+2a+1=0的两根，则p：关于x的方程x²-3ax+2a+1=0的两根均大于3?

(x1-3)(x2-3)＞0 △＞0 - -3a 2 ＞3

，解得a即可．
（2）对于q：A={x|x²-2x+a＞0}且1∉A，若1∈A，则1-2+a＞0，a＞1．由于1∉A，可得a≤1．由于p∨q为真命题，可得p，q至少有一个是真命题．即可得出．

解答： 解：（1）设x₁，x₂是方程x²-3ax+2a²+1=0的两根，
则p：关于x的方程x²-3ax+2a²+1=0的两根均大于3?

(x1-3)(x2-3)＞0 △＞0 - -3a 2 ＞3

，解得a＞2．
∴使p成立的充要条件是a＞2．
（2）对于q：A={x|x²-2x+a＞0}且1∉A，
若1∈A，则1-2+a＞0，a＞1．
∵1∉A，∴a≤1．
∵p∨q为真命题，
∴p，q至少有一个是真命题．
∴实数a的取值范围是a≤1，或a＞2．

点评：本题考查了二次函数的性质、一元二次方程的实数根与判别式的关系、简易逻辑的有关知识，考查了推理能力与计算能力，属于难题．