Question

已知α为第三象限角，tan（α+

π

4

）=3．
（1）求tanα的值；
（2）求sin2α及cos（α+

π

6

）的值．

Answer 1

考点：二倍角的正弦,两角和与差的正切函数

专题：三角函数的求值

分析：（1）已知density左边利用两角和与差的正切函数公式化简，整理求出tanα的值即可；
（2）利用二倍角的正弦函数公式化简sin2α，再利用同角三角函数间基本关系化简，把tanα的值代入计算即可求出值；原式利用两角和与差的余弦函数公式化简，把各自的值代入计算即可求出值．

解答： 解：（1）∵tan（α+

π

4

）=

tanα+1

1-tanα

=3，
∴tanα=

1

2

；
（2）∵tanα=

1

2

，
∴sin2α=2sinαcosα=

2sinαcosα

sin2α+cos2α

=

2tanα

1+tan2α

=

4

5

；
∵α为第三象限角，tanα=

1

2

，
∴cosα=-

1 1+tan2α

=-

2 5

5

，sinα=-

1-cos2α

=-

5

5

，
则cos（α+

π

6

）=

3

2

cosα-

1

2

sinα=

3

2

×（-

2 5

5

）-

1

2

×（-

5

5

）=

5 -2 1

10

．

点评：此题考查了二倍角的正弦函数公式，以及两角和与差的正切函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．