Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c．
（1）若f（x）＞-2x的解集为（1，3），且方程f（x）+6a=0有两个相等的根，请求出f（x）的解析式；
（2）在（1）条件下，若f（x）＞（a-1）x²-3（a+1）x对x∈（1，2）恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若f（x）＞-2x的解集为（1，3），且f（x）的最大值为正数，求实数a的取值范围；
（4）若c=1，f（-1）=0且对任意实数x均有f（x）≥0成立，当x∈[-3，3]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,二次函数的性质

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）由不等式f（x）＞-2x的解集为（1，3）得到b与a、c与a的关系，再由方程f（x）+6a=0有两个相等的根，利用判别式等于0求解a的值，则函数解析式可求；
（2）把f（x）的解析式代入f（x）＞（a-1）x²-3（a+1）x整理，由f（x）＞（a-1）x²-3（a+1）x对x∈（1，2）恒成立，讨论二次项系数，当二次项系数不等于0时利用“三个二次”的结合列关于a的不等式组求解．
（3）因为f（x）为开口向下的抛物线，利用公式当x=-

b

2a

时，最大值为

4ac-b2

4a

，即有f（x）的最大值为-

a2+4a+1

a

和a＜0联立组成不等式组，求出解集即可．
（4）根据f（-1）=0列一个关于a、b、c的方程，再由对任意实数x均有f（x）≥0成立，说明其对应方程的判别式恒小于等于0，求解出函数f（x）后，借助于二次函数的对称轴与单调区间的关系求解实数k的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）+2x＞0的解集为（1，3），
可设f（x）+2x=a（x-1）（x-3），且a＜0．
因而f（x）=a（x-1）（x-3）-2x=ax²-（2+4a）x+3a．①
由方程f（x）+6a=0得ax²-（2+4a）x+9a=0．②
因为方程②有两个相等的根，所以△=[-（2+4a）]²-4a•9a=0，
即5a²-4a-1=0．解得a=1或a=-

1

5

．
由于a＜0，则a=-

1

5

，将a=-

1

5

代入①得f（x）的解析式f（x）=-

1

5

x²-

6

5

x-

3

5

；
（2）由f（x）＞（a-1）x²-3（a+1）x对x∈（1，2）恒成立，
即-

1

5

x²-

6

5

x-

3

5

＞（a-1）x²-3（a+1）x对x∈（1，2）恒成立，
也就是（5a-4）x²-（15a+9）x+3＜0对x∈（1，2）恒成立，
当5a-4=0，即a=

4

5

时，不等式化为x＞

1

7

，满足x∈（1，2）；
当5a-4≠0时，要使（5a-4）x²-（15a+9）x+3＜0对x∈（1，2）恒成立，
令g（x）=（5a-4）x²-（15a+9）x+3．
则

5a-4＞0 g(1)=-10a-10≤0 g(2)=-10a-31≤0

①或

5a-4＜0 15a+9 2(5a-4) ≤1 g(1)=-10a-10≤0

②或

5a-4＜0 15a+9 2(5a-4) ≥2 g(2)=-10a-31≤0

③
解①得，a＞

4

5

．解②得，-1≤a＜

4

5

．解③得，a∈∅．
综上，实数a的取值范围是[-1，+∞）．
（3）由f（x）=ax²-（2+4a）x+3a=a（x-

1+2a

a

）²-

a2+4a+1

a

，
及a＜0，可得f（x）的最大值为-

a2+4a+1

a

，就由-

a2+4a+1

a

＞0，且a＜0，
解得a＜-2-

3

或-2+

3

＜a＜0．
故当f（x）的最大值为正数时，实数a的取值范围是（-∞，-2-

3

）∪（-2+

3

，0）；
（4）f（x）=ax²+bx+1，∵f（-1）=0，∴a-b+1=0
∵对任意实数x均有f（x）≥0成立，
∴△=b²-4a≤0，将b=a+1，代入得（a-1）²≤0，
∴a=1，b=2，∴f（x）=x²+2x+1，
∵g（x）=x²+（2-k）x+1在[-3，3]单调，
∴-

2-k

2

≤-3或-

2-k

2

≥3，
∴k≤-4或k≥8．

点评：本题考查了函数解析式的求解及常用方法，考查了一元二次不等式的解法，以及函数的单调性，训练了利用“三个二次结合”求解恒成立问题中的参数范围问题，是中档题．