Question

8．设A_2n=（a₁，a₂，…，a_2n）是由2n个实数组成的有序数组，满足下列条件：①a_i∈{1，-1}，i=1，2，…，2n；②a₁+a₂+…+a_2n=0；③a₁+a₂+…+a_i≥0，i=1，2，…，2n-1．
（Ⅰ）当n=3时，写出满足题设条件的全部A₆；
（Ⅱ）设n=2k-1，其中k∈N^*，求a₁+a₂+…+a_n的取值集合；
（Ⅲ）给定正整数n，求A_2n的个数．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当n=3时，直接写出满足题设条件的全部A₆；
（Ⅱ）首先证明a₁=1，且a_2n=-1，考虑A_2n=（1，…，1，-1，…，-1），即a₁=a₂=…=a_n=1，a_n+1=a_n+2=…=a_2n=-1，此时a₁+a₂+…+a_n=n为最大值，注意到n为奇数，所以a₁+a₂+…+a_n=1为最小值，即可求a₁+a₂+…+a_n的取值集合；
（Ⅲ）给定正整数n，显然，从a₁，a₂，…，a_2n中选n个+1，其余为-1的种数共有$C_{2n}^n$种．下面我们考虑这样的数组中有多少个不满足条件③，即可求A_2n的个数．

解答 解：（Ⅰ）A₆=（1，1，1，-1，-1，-1），A₆=（1，1，-1，1，-1，-1），A₆=（1，1，-1，-1，1，-1），A₆=（1，-1，1，1，-1，-1），A₆=（1，-1，1，-1，1，-1），共5个． …（3分）
（Ⅱ）首先证明a₁=1，且a_2n=-1．
在③中，令i=1，得a₁≥0．由①得a₁=1．
由②得a_2n=-（a₁+a₂+…+a_2n-1）．
在③中，令i=2n-1，得a₁+a₂+…+a_2n-1≥0，
从而a_2n=-（a₁+a₂+…+a_2n-1）≤0．由①得a_2n=-1．
考虑A_2n=（1，…，1，-1，…，-1），即a₁=a₂=…=a_n=1，a_n+1=a_n+2=…=a_2n=-1，此时a₁+a₂+…+a_n=n为最大值．
现交换a_n与a_n+1，使得a_n=-1，a_n+1=1，此时a₁+a₂+…+a_n=n-2．
现将a_n=-1逐项前移，直至a₂=-1．在前移过程中，显然a₁+a₂+…+a_n=n-2不变，这一过程称为1次移位．
继续交换a_n与a_n+2，使得a_n=-1，a_n+2=1，此时a₁+a₂+…+a_n=n-4．
现将a_n=-1逐项前移，直至a₄=-1．在前移过程中，显然a₁+a₂+…+a_n=n-4不变，执行第2次移位．
依此类推，每次移位a₁+a₂+…+a_n的值依次递减2．经过有限次移位，a₁，a₂，…，a_n一定可以调整为1，-1交替出现．
注意到n为奇数，所以a₁+a₂+…+a_n=1为最小值．
所以，a₁+a₂+…+a_n的取值集合为{1，3，5，…，2k-1}．    …（8分）
（Ⅲ）由①、②可知，有序数组（a₁，a₂，…，a_2n）中，有n个+1，n个-1．
显然，从a₁，a₂，…，a_2n中选n个+1，其余为-1的种数共有$C_{2n}^n$种．下面我们考虑这样的数组中有多少个不满足条件③，记该数为t_n．
如果（a₁，a₂，…，a_2n）不满足条件③，则一定存在最小的正整数s（s≤n），使得
（ⅰ）a₁+a₂+…+a_2s-2=0；   （ⅱ）a_2s-1=-1．
将a₁，a₂，…，a_2s-1统统改变符号，
这一对应f为：（a₁，a₂，…，a_2s-1，a_2s，…，a_2n）→（-a₁，-a₂，…，-a_2s-1，a_2s，…，a_2n），
从而将（a₁，a₂，…，a_2n）变为n+1个+1，n-1个-1组成的有序数组．
反之，任何一个n+1个+1，n-1个-1组成的有序数组（a₁，a₂，…，a_2n）．由于+1多于-1的个数，所以一定存在最小的正整数s（s≤n），使得a₁+a₂+…+a_2s-1=1．
令对应f^-1为：（a₁，a₂，…，a_2s-1，a_2s，…，a_2n）→（-a₁，-a₂，…，-a_2s-1，a_2s，…，a_2n），
从而将（a₁，a₂，…，a_2n）变为n-1个+1，n+1个-1组成的有序数组．
因此，t_n就是n+1个+1，n-1个-1组成的有序数组的个数．
所以A_2n的个数是$C_{2n}^n-C_{2n}^{n+1}=\frac{1}{n+1}C_{2n}^n$．                       …（13分）

点评 本题考查推理与证明，考查集合思想，考查学生分析解决问题的能力，难度大．