Question

19．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的两焦点分别为F₁，F₂，短轴的一个端点为点P，△PF₁F₂内切圆的半径为$\frac{b}{3}$．设过点F₂的直线l被椭圆C截得的线段为RS，当l⊥x轴时，|RS|=3
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）在x轴上是否存在一点T，使得当l变化时，总有TS与TR所在直线关于x轴对称？若存在，请求出点T的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由内切圆性质得$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，将x=c代入$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，得y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，由此求出a=2，b=$\sqrt{3}$，从而得到椭圆C的标准方程．
（2）当直线l垂直于x轴时，x轴上任意一点都满足TS与TR所在直线关于x轴对称，当直线l不垂直于x轴时，假设存在T（t，0）满足条件，设l的方程为y=k（x-1），R（x₁，y₁），S（x₂，y₂），联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}-12=0}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，由此利用根与系数的关系、根的判别式、直线关于x轴对称，结合已知条件能求出存在T（4，0），使得当l变化时，总有TS与TR所在直线关于x轴对称．

解答 解：（1）由内切圆性质得$\frac{1}{2}×2c×b=\frac{1}{2}×（2a+2c）×\frac{b}{3}$，
解得$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，
将x=c代入$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，得y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，∴$\frac{2{b}^{2}}{a}=3$，
又a²=b²+c²，解得a=2，b=$\sqrt{3}$，
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）当直线l垂直于x轴时，x轴上任意一点都满足TS与TR所在直线关于x轴对称，
当直线l不垂直于x轴时，假设存在T（t，0）满足条件，
设l的方程为y=k（x-1），R（x₁，y₁），S（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}-12=0}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
由根与系数的关系得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}}\\{{x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}}\end{array}\right.$，①，其中△＞0，
∵TS与TR所在直线关于x轴对称，∴$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-t}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-t}$=0，②
∵R，S两点在直线y=k（x-1）上，
∴y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1），代入②，得：
$\frac{k（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-t）+k（{x}_{2}-1）（{x}_{1}-t）}{（{x}_{1}-t）（{x}_{2}-t）}$=$\frac{k[2{x}_{1}{x}_{2}-（t+1）（{x}_{1}+{x}_{2}）+2t]}{（{x}_{1}-t）（{x}_{2}-t）}$=0，
∴2x₁x₂-（t+1）（x₁+x₂）+2t=0，③
将①代入③，得$\frac{8{k}^{2}-24-（t+1）8{k}^{2}+2t（3+4{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$=$\frac{6t-24}{3+4{k}^{2}}$=0，④
要使得④与k的取值无关，则t=4，
综上所述，存在T（4，0），使得当l变化时，总有TS与TR所在直线关于x轴对称．

点评 本题考查椭圆方程、韦达定理、根的判别式、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．