Question

17．下列命题中真命题的个数是（　　）
①若p∧q是假命题，则p，q都是假命题；
②命题“?x∈R，x³-x²+1≤0”的否定是“?x₀∈R，x₀³-x₀²+1＞0”；
③若p：x≤1，q：$\frac{1}{x}$＜1，则￢p是q的充分不必要条件．
④设随机变量X服从正态分布N（3，7），若P（X＞C+1）=P（X＜C-1），则C=3．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 对于①，p∧q是假命题⇒p，q中至少有一个为假命题，可判断①错误；
对于②，写出命题“?x∈R，x³-x²+1≤0”的否定：“?x₀∈R，x₀³-x₀²+1＞0”，可判断②正确；
对于③，由p：x≤1，q：$\frac{1}{x}$＜1知，￢p⇒q，反之，不可，可判断③正确；
对于④，依题意，由P（X＞C+1）=P（X＜C-1）知随机变量X的正态曲线关于直线x=C对称，由X～N（3，7）知故其图象关于直线x=3对称，可判断④正确．

解答 解：对于①，若p∧q是假命题，则p，q中至少有一个为假命题，并非都是假命题，故①错误；
对于②，命题“?x∈R，x³-x²+1≤0”的否定是“?x₀∈R，x₀³-x₀²+1＞0”，故②正确；
对于③，∵p：x≤1，q：$\frac{1}{x}$＜1，则x＞1⇒$\frac{1}{x}$＜1，反之不成立，即￢p是q的充分不必要条件，故③正确；
对于④，∵随机变量X服从正态分布N（3，7），故其图象关于直线x=3对称，
又P（X＞C+1）=P（X＜C-1），
∴随机变量X的正态曲线关于直线x=C对称，
∴C=3，故④正确．
综上，命题中真命题的个数是3个，
故选：C．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查充分必要条件、四种命题间的关系、命题及其否定、考查分析与推理能力，属于中档题．