题目内容
某工厂共有10台机器，生产一种仪器元件，由于受生产能力和技术水平等因素限制，会产生一定数量的次品．根据经验知道，若每台机器产生的次品数P（万件）与每台机器的日产量x（万件）（4≤x≤10）之间满足关系：P=
x2-
lnx+3．已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元，但每产生1万件次品将亏损1万元．（利润=盈利-亏损）
（1）试将该工厂每天生产这种元件所获得的利润y（万元）表示为x的函数；
（2）当每台机器的日产量x（万件）为多少时所获得的利润最大，最大利润为多少？
| 1 |
| 10 |
| 77 |
| 15 |
（1）试将该工厂每天生产这种元件所获得的利润y（万元）表示为x的函数；
（2）当每台机器的日产量x（万件）为多少时所获得的利润最大，最大利润为多少？
考点：利用导数求闭区间上函数的最值
专题：计算题,应用题,导数的综合应用
分析：（1）由题意得，所获得的利润为y=10[2（x-P）-P]=10（2x-3P），将P=
x2-
lnx+3代入化简即可；
（2）求导y′=-6x+20+
=
=-
，由导数确定单调性再求最值．
| 1 |
| 10 |
| 77 |
| 15 |
（2）求导y′=-6x+20+
| 154 |
| x |
| -6x2+20x+154 |
| x |
| 2(x-7)(3x+11) |
| x |
解答：
解：（1）由题意得，
所获得的利润为y=10[2（x-P）-P]=10（2x-3P），
又由P=
x2-
lnx+3得，
即y=-3x2+20x+154lnx-90，（4≤x≤10）
（2）由（1）知，
y′=-6x+20+
=
=-
，
∴当4≤x＜7时，y'＞0，函数在[4，7]上为增函数；
当7＜x≤10时，y'＜0，函数在[6，10]上为减函数，
∴当x=7时，函数取得极大值，且为最大值
，最大利润为154ln7-97（万元）．
即：当每台机器的日产量为7万件时所获得的利润最大，最大利润为154ln7-97万元．
所获得的利润为y=10[2（x-P）-P]=10（2x-3P），
又由P=
| 1 |
| 10 |
| 77 |
| 15 |
即y=-3x2+20x+154lnx-90，（4≤x≤10）
（2）由（1）知，
y′=-6x+20+
| 154 |
| x |
| -6x2+20x+154 |
| x |
| 2(x-7)(3x+11) |
| x |
∴当4≤x＜7时，y'＞0，函数在[4，7]上为增函数；
当7＜x≤10时，y'＜0，函数在[6，10]上为减函数，
∴当x=7时，函数取得极大值，且为最大值
，最大利润为154ln7-97（万元）．
即：当每台机器的日产量为7万件时所获得的利润最大，最大利润为154ln7-97万元．
点评：本题考查了实际问题转化为数学问题的能力及导数的综合应用，属于中档题．
练习册系列答案
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下列函数在（1，+∞）上为增函数的是（ ）
| A、y=-|x-1| | ||
B、y=x+
| ||
C、y=
| ||
| D、y=x（2-x） |
如直线l1、l2的斜率是二次方程x2-4x+1=0的两根，那么l1与l2的夹角是（ ）
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|