Question

下列函数在（1，+∞）上为增函数的是（　　）

• A、y=-|x-1|
• B、y=x+

  2

  x

• C、y=

  3x+1

  x+1

• D、y=x（2-x）

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：举反例说明A，B在（1，+∞）上不是增函数，由二次函数的性质说明y=x（2-x）在（1，+∞）上不是增函数，利用函数单调性的定义证明函数y=

3x+1

x+1

在（1，+∞）上为增函数．

解答： 解：对于函数y=f（x）=-|x-1|，
∵f（2）=-1，f（3）=-2，f（3）＜f（2），
∴y=-|x-1|在（1，+∞）上不是增函数；
对于y=f（x）=x+

2

x

，
∵f（

5

4

）=

57

2

，f（

3

2

）=

17

6

，f（

3

2

）＜（

5

4

），
∴y=x+

2

x

在（1，+∞）上不是增函数；
对于y=x（2-x）=-x²+2x，图象是开口向下的抛物线，对称轴方程为x=1，
在（1，+∞）上为减函数；
对于y=

3x+1

x+1

，在（1，+∞）上任取两个实数x₁，x₂，
设x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=

3x1+1

x1+1

-

3x2+1

x2+1

=

3x1x2+x2+3x1+1-3x1x2-x1-3x2-1

(x1+1)(x2+1)

=

2(x1-x2)

(x1+1)(x2+1)

．
∵x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，
∴

2(x1-x2)

(x1+1)(x2+1)

＜0，
即f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x₁）＜f（x₂）．
∴y=

3x+1

x+1

在（1，+∞）上为增函数．
故选：C．

点评：本题考查了函数单调性的判断与证明，关键是掌握单调性证明的步骤，是基础题．