Question

已知函数f（x）=2lnx+ax²-1（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设a=1，若不等式f（1+x）+f（1-x）-m＜0对任意的0＜x＜1恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）先求出函数的导数，分别讨论①当a≥0时，②当a＜0的情况，从而求出函数的单调区间；
（Ⅱ）设F（x）=f（1+x）+f（1-x），求出F′（x），得到F（x）在x∈（0，1）递减，从而F（x）＜F（0）=0，从而求出m的范围．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=

2

x

+2ax，
令f′（x）＞0，∵x＞0，∴2ax²+2＞0，
①当a≥0时，f′（x）＞0在（0，+∞）恒成立，∴f（x）在（0，+∞）递增；
②当a＜0时，∴2ax²+2＞0?x²＜-

1

a

?-

- 1 a

＜x＜

- 1 a

，又x＞0，
∴f（x）的递增区间是（0，

-a

-a

），递减区间是（

-a

-a

，+∞）；
（Ⅱ）设F（x）=f（1+x）+f（1-x）=2ln（1+x）+（1+x）²-1+2ln（1-x）+（1-x）²-1，
化简得：F（x）=2ln（1+x）+2ln（1-x）+2x²，
F′（x）=

2

1+x

-

2

1-x

+4x=-

x3

1-x2

，
∵0＜x＜1，∴F′（x）＜0在0＜x＜1上恒成立，
∴F（x）在x∈（0，1）递减，
∴F（x）＜F（0）=0，
∴m≥0，即m的范围是[0，+∞）．

点评：本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查了导数的应用，考查了分类讨论思想，是一道中档题．