Question

已知函数f（x）定义域是{x|x≠

k

2

，k∈Z，x∈R}，且f（x）+f（2-x）=0，f（x+1）=-

1

f(x)

，当

1

2

＜x＜1时，f（x）=3^x．
（1）证明：f（x）为奇函数；
（2）求f（x）在(-1，-

1

2

)上的表达式；
（3）是否存在正整数k，使得x∈(2k+

1

2

，2k+1)时，log₃f（x）＞x²-kx-2k有解，若存在求出k的值，若不存在说明理由．

Answer 1

考点：其他不等式的解法,函数解析式的求解及常用方法,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由f（x+1）=-

1

f(x)

，可求得f（x）的周期为2，再由f（x）+f（2-x）=0可证f（x）+f（-x）=0，f（x）为奇函数；
（2）-1＜x＜-

1

2

时，

1

2

＜-x＜1，利用f（-x）=3^-x及f（x）=-f（-x），即可求得f（x）在(-1，-

1

2

)上的表达式；
（3）任取x∈（2k+

1

2

，2k+1），则x-2k∈(

1

2

，1)，利用log3(3x-2k)＞x2-kx-2k在x∈(2k+

1

2

，2k+1)有解，可得k+1＞2k+

1

2

，从而可知不存在这样的k∈N⁺．

解答： （1）证明：f（x+2）=f（x+1+1）=-

1

f(x+1)

=f（x），所以f（x）的周期为2…（2分）
由f（x）+f（2-x）=0，得f（x）+f（-x）=0，所以f（x）为奇函数．…（4分）
（2）解：-1＜x＜-

1

2

时，

1

2

＜-x＜1，则f（-x）=3^-x…（6分）
因为f（x）=-f（-x），所以当-1＜x＜-

1

2

时，f（x）=-3^-x…（8分）
（3）解：任取x∈（2k+

1

2

，2k+1），则x-2k∈(

1

2

，1)，
所以f（x）=f（x-2k）=3^x-2k…（10分）
log3(3x-2k)＞x2-kx-2k在x∈(2k+

1

2

，2k+1)有解，即x2-(k+1)x＜0在x∈(2k+

1

2

，2k+1)有解，k∈N*．
∴(0，k+1)∩(2k+

1

2

，2k+1)≠φ，
∴k+1＞2k+

1

2

．
所以不存在这样的k∈N⁺…（13分）

点评：本题考查函数的周期性与奇偶性的判定，考查函数解析式的求法及解不等式的能力，属于难题．