Question

已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=x²+2x．
（1）写出函数f（x），x∈R的解析式；
（2）若函数g（x）=f（x）-2ax+2，x∈[1，2]，求函数g（x）的最小值h（a）．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用函数的奇偶性，求出分段函数的解析式．
（2）利用分类讨论思想，进一步求出函数的最值

解答： 解：（1）函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=x²+2x．
当x＞0时，f（x）=x²-2x
所以：f(x)=

x2+2x，x≤0 x2-2x，x＞0

（2）①当a+1≤1时，即a≤0，g（x）_min=g（1）=1-2a
②当1＜a+1＜2时，即0＜a＜1g(x)min=g(a+1)=-a2-2a+1
③当a+1≥2时，即a≥1g（x）_min=g（2）=2-2a
综上：h(a)=

1-2a，a≤0 -a2-2a+1，0＜a＜1 2-4a，a≥1

．
故答案为：（1）f(x)=

x2+2x，x≤0 x2-2x，x＞0

（2）h(a)=

1-2a，a≤0 -a2-2a+1，0＜a＜1 2-4a，a≥1

点评：本题考查的知识要点：函数的奇偶性，利用奇偶性求函数的解析式，利用分类讨论思想求函数的最值