Question

利用单调性的定义证明函数f（x）=

x+2

x+1

在（-1，+∞）上是减函数，并求函数f（x）在[0，1]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：根据函数单调性的定义以及分式函数的性质即可得到结论．

解答： 证明：任取x₁，x₂∈（-1，+∞），且x₁＜x₂，则      …（1分），
f(x1)-f(x2)=

x1+2

x1+1

-

x2+2

x2+1

=

x2-x1

(x1+1)(x2+1)

…（4分）
因为-1＜x₁＜x₂，所以x₂-x₁＞0，x₁+1＞0，x₂+1＞0
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）…（7分）
所以函数f（x）在（-1，+∞）上是减函数．                …（8分）
因为函数f（x）在（-1，+∞）上是减函数，所以函数f（x）在[0，1]上是减函数．
所以当x=0时，函数f（x）在[0，1]上的最大值是2，
所以当x=1时，函数f（x）在[0，1]上的最小值是

3

2

．    …（12分）

点评：本题主要考查函数单调性的证明以及函数最值的求解，利用定义法是解决本题的关键．