Question

已知函数f（x）=

x2+a

x

，且f（1）=2
（1）判断并证明函数f（x）在其定义域上的奇偶性；
（2）证明函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；
（3）求函数f（x）在区间[2，5]上的最大值与最小值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义,函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）先将f（1）=2代入，求出a的值代入后再判断函数的奇偶性，并用定义证明；
（2）利用定义法求函数的单调性；
（3）结合第（2）问单调性的结果，判断该函数在[2，5]上的单调性，再求最值．

解答： 解：f（1）=2∴1+a=2∴a=1，
（1）f（-x）=

x2+1

-x

=-

x2+1

x

=-f(x)，
定义域为{x|x∈R且x≠0}，关于原点对称，∴为奇函数．x₂＞x₁＞1；
（2）由（1）知f(x)=

x2+1

x

=x+

1

x

，
任取．x₂＞x₁＞1，
则f(x1)-f(x2)=x1+

1

x1

-x2-

1

x2

=x1-x2+

x2-x1

x1x2

=(x1-x2)(1-

1

x1x2

)，
1＜x₁＜x₂＜+∞∴x₁x₂＞1∴0＜

1

x1x2

＜1即1-

1

x1x2

＞0且x₁-x₂＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
∴f（x）在（1，+∞）上是增函数．
（3）由（2）知函数f（x）在[2，5]上递增，
所以f(x)max=f(5)=5

1

5

，f(x)min=f(2)=

5

2

点评：本题属于基础题难度不大，主要是考查了利用定义证明函数的单调性、利用单调性求最值的问题．