题目内容
已知函数f（x）=
为奇函数．
（1）求b的值；
（2）证明：函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数；
（3）解关于x的不等式f（1+2x2）+f（-x2+2x-4）＞0．
| x+b |
| 1+x2 |
（1）求b的值；
（2）证明：函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数；
（3）解关于x的不等式f（1+2x2）+f（-x2+2x-4）＞0．
考点：奇偶性与单调性的综合,函数单调性的判断与证明,函数单调性的性质
专题：函数的性质及应用
分析：（1）根据f（0）=0，求得b的值．
（2）由（1）可得f（x）=
，再利用函数的单调性的定义证明函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数．
（3）由题意可得f（1+2x2）＞f（x2 -2x+4），再根据函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数，可得1+2x2 ＜x2 -2x+4，且x＞1，由此求得x的范围．
（2）由（1）可得f（x）=
| x |
| 1+x2 |
（3）由题意可得f（1+2x2）＞f（x2 -2x+4），再根据函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数，可得1+2x2 ＜x2 -2x+4，且x＞1，由此求得x的范围．
解答：
解：（1）∵函数f（x）=
为定义在R上的奇函数，∴f（0）=b=0．
（2）由（1）可得f（x）=
，下面证明函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数．
证明：设x2＞x1＞0，则有f（x1）-f（x2）=
-
=
=
．
再根据x2＞x1＞0，可得1+x12＞0，1+x22＞0，x1-x2＜0，1-x1•x2＜0，∴
＞0，
即f（x1）＞f（x2），∴函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数．
（3）由不等式f（1+2x2）+f（-x2+2x-4）＞0，可得f（1+2x2）＞-f（-x2+2x-4）=f（x2 -2x+4），
再根据函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数，可得1+2x2 ＜x2 -2x+4，且x＞1求得1＜x＜3，
故不等式的解集为（1，3）．
| x+b |
| 1+x2 |
（2）由（1）可得f（x）=
| x |
| 1+x2 |
证明：设x2＞x1＞0，则有f（x1）-f（x2）=
| x1 |
| 1+x12 |
| x2 |
| 1+x22 |
| x1+x1•x22-x2-x2•x12 |
| (1+x12)(1+x22) |
| (x1-x2)(1-x1•x2) |
| (1+x12)(1+x22) |
再根据x2＞x1＞0，可得1+x12＞0，1+x22＞0，x1-x2＜0，1-x1•x2＜0，∴
| (x1-x2)(1-x1•x2) |
| (1+x12)(1+x22) |
即f（x1）＞f（x2），∴函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数．
（3）由不等式f（1+2x2）+f（-x2+2x-4）＞0，可得f（1+2x2）＞-f（-x2+2x-4）=f（x2 -2x+4），
再根据函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数，可得1+2x2 ＜x2 -2x+4，且x＞1求得1＜x＜3，
故不等式的解集为（1，3）．
点评：本题主要考查函数的奇偶性和函数的单调性的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．
练习册系列答案
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