Question

4．已知函数f（x）=|x+3|，g（x）=m-2|x-11|，若2f（x）≥g（x+4）恒成立，实数m的最大值为t
（1）求实数t
（2）已知实数x、y、z满足2x²+3y²+6z²=a（a＞0），且x+y+z的最大值是$\frac{t}{20}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）若2f（x）≥g（x+4）恒成立，可得m≤2（|x+3|+|x-7|），而由绝对值三角不等式可得 2（|x+3|+|x-7|）≥20，可得m≤20，由此求得m的最大值t．
（2）由柯西不等式可得（2x²+3y²+6z²）•（$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}$）≥（x+y+z）²，即a×1≥（x+y+z）²，即x+y+z≤$\sqrt{a}$，再根据 x+y+z的最大值是$\frac{t}{20}$=1，可得$\sqrt{a}$=1，从而求得a的值．

解答 解：（1）由题意可得g（x+4）=m-2|x+4-11|=m-2|x-7|，若2f（x）≥g（x+4）恒成立，
∴2|x+3|≥m-2|x-7|，即 m≤2（|x+3|+|x-7|）．
而由绝对值三角不等式可得 2（|x+3|+|x-7|）≥2|（x+3）-（x-7）|=20，
∴m≤20，故m的最大值t=20．
（2）∵实数x、y、z满足2x²+3y²+6z²=a（a＞0），由柯西不等式可得
（2x²+3y²+6z²）•（$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}$）≥（x+y+z）²，
∴a×1≥（x+y+z）²，∴x+y+z≤$\sqrt{a}$．
再根据 x+y+z的最大值是$\frac{t}{20}$=1，∴$\sqrt{a}$=1，∴a=1．

点评 本题主要考查绝对值三角不等式、柯西不等式的应用，属于中档题．