Question

13．已知抛物线y²=-x与直线y=k（x+1）相交于A，B两点．
（1）求证：OA⊥OB；
（2）是否存k使△OAB的面积等于1，若存在求k的值，若不存在说明理由．

Answer 1

分析 （1）画出图象，利用韦达定理求出直线的斜率，通过斜率的乘积为-1，证明OA⊥OB；
（2）求出三角形的面积，然后利用方程是否有解，得出结果．

解答 解：（1）如图所示，由抛物线y²=-x与直线y=k（x+1），消去x得，ky²+y-k=0．

设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由根与系数的关系得y₁•y₂=-1，y₁+y₂=-$\frac{1}{k}$．
∵A、B在抛物线y²=-x上，
∴y₁=-x₁，y₂=-x₂，∴y₁•y₂=x₁x₂．
∵k_OA•k_OB=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}•\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$═-1，∴OA⊥OB．
（2）设直线与x轴交于点N，显然k≠0．
令y=0，得x=-1，即N（-1，0）．
∵S_△OAB=S_△OAN+S_△OBN
=|ON||y₁|+|ON||y₂|=|ON|•|y₁-y₂|，
∴S_△OAB=1•$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$═$\sqrt{4+\frac{1}{{k}^{2}}}$=1，方程不成立，
不存在k使△OAB的面积等于1．

点评 本题考查抛物线与直线的位置关系的应用，考查分析问题解决问题的能力，考查计算能力．