Question

19．若双曲线的一条渐近线方程为y=$\sqrt{2}$x，则其离心率为$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$或$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 讨论双曲线的焦点在x或y轴上，求得渐近线方程，可得b=2a或a=2b，由a，b，c的关系和离心率公式计算即可得到所求值．

解答 解：当双曲线的焦点在x轴上，
由双曲线的方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a，b＞0），
可得渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
即有b=$\sqrt{2}$a，c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{3}$a，
则e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$；
当双曲线的焦点在y轴上，
由双曲线的方程$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a，b＞0），
可得渐近线方程为y=±$\frac{a}{b}$x，
即有b=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$a，
则e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故答案为：$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$或$\sqrt{3}$；

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意讨论焦点的位置，考查渐近线方程与双曲线的方程的关系，考查运算能力，属于基础题．